Wednesday, July 13, 2005

Fundamentos teóricos

PREGUNTAS ABP ENSEÑANDO POLINOMIOS Y OPERACIONES CON POLINOMIOS


1. Define Polinomio en R. Clases y ejemplos
2. Aplicaciones, ejemplos
3. Investiga sobre:
3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto. Ejemplos
3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas. Ejemplos
3.3. Polinomios especiales. Ejemplos
3.4. Operaciones con polinomios: (Escribe ejemplos para entenderlo mejor en cada caso)
3.4.1.1. Adición
3.4.1.2. Sustracción
3.4.1.3. Multiplicación
3.4.1.4. Productos notables: casos, Identidades de Legendre
3.5. Ejercicios y problemas aplicativos

Desarrollo

1. Define Polinomio en R. Clases y ejemplos

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0

que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Ejemplos:

  • 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3
  • 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
  • 3x - 2
  • x4 + 5
  • 2n2 - 5n + 3
  • 5y3 + 4y2 - 3y + 1
  • 23

Clasificación de los Polinomios:

Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos:

Monomio = 1 termino

Ejemplo:

  • 7x2y
  • 5yx
  • -6x8y

Binomio = 2 terminos

Ejemplos:

  • 2xy - 8y
  • 3x + 5zy
  • -5x - 10

Trinomio = 3 terminos

Ejemplos:

  • 3z + 6yx - 12
  • 7x - 5z + 23
  • -6yx - 15

Polinomio = 4 o mas terminos.

Ejemplos:

  • 5xy + z + 12m - 126
  • 6xy + 5mn - 2z +32
  • 12p + mn + 6xy -12


2. Aplicaciones, ejemplos

3. Investiga sobre:

3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto. Ejemplos

Ejemplos:

4a3b2:

GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)

GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Ejemplo:

Sigamos con el monomio anterior:

4a3b2

GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

()Introduccion al algebra, Grados relativos y absolutos.http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#grados

3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas. Ejemplos

Grado relativo de un polinomio: Es el mayor grado relativo de la variable.

Ejemplo:

4a3b2 +5a5b

→Los grado relativos de a en cada monomio son 3 y 5 respectivamente por lo que el grado relativo de a en el polinomio es 5.

→Los grados relativos de b son 2 y 1 respectivamente por lo que el grado relativo del polinomio de b es 2.

Grado Absoluto del polinomio: Es el mayor grado absoluto de cada monomio.

Ejemplo:

Sigamos con el polinomio:

4a3b2 +5a5b

El grado absoluto del monomio 4a3b2 es 5 y del monomio 5a5b es 6 por lo que nos quedaremos con el 6 por ser el mayor.

GA: 6

()Introduccion al algebra, Grados relativos y absolutos.http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

Grado de las operaciones algebraicas:

Ejemplo:

(A3)(A2) = (A5)

Ejemplo:

(a - b)4 / (a - b)2 = (a - b)2

Ejemplo:

(d3)5 = d15

Ejemplo:

3.3. Polinomios especiales. Ejemplos

Ejemplo:

5a2 +3a3 -a5 +a8

Vemos que los exponentes 2, 3, 5, 8 estan ordenados de manera ascendente del 2 al 8.

2x15+ 3z12 + 9m6 + 10n3

Ahora vemos que los exponentes 15, 12, 6 y 3 estan ordenados de manera descendente del 15 al 3.

()http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

Ejemplo:

6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5

Para hacer mas facil el desarollo completamos los exponentes resultando 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0.

Podemos ver que estan todos los exponentes del 0 al 5 sin faltar ninguno.

()http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

Ejemplo:

3a2b + 5ab2 -3abc

Si hallamos los grados de cada termino nos damos cuenta que el grado es 3 en todo los terminos.

()http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

Ejemplo:

()http://www.upes.edu.sv/curso%20prepaes/matematica/ejercicios%20resueltos/POLINOMIOS.pdf

3.4. Operaciones con polinomios: (Escribe ejemplos para entenderlo mejor en cada caso)

3.4.1.1. Adición

Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos. Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. El resultado es otro polinomio.

Ejemplo:


Sean los polinomios:

P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1
Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2

Determinaremos el polinomio
suma.
Disposición práctica
-2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1+
3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2

_____________________
-2 x4 +8 x3 - 6 x2 – 8 x - 1 →Suma

()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

()http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm

3.4.1.2. Sustracción

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de
Q(x).
P(x) - Q(x) = P(x) + [ - Q(x)]

En otras palabras la sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:

Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 y Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2
Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes.

Aplicando la regla
P(x) - Q(x) =
= -2 x4 + 5 x3 - 3 x + 1 + (-3) x3 + ( 6)x2 + ( 5) x + 2 =
= -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2x + 3

Disposición práctica
-2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1+
-3 x3 + 6 x2 + 5 x + 2

____________________
-2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3

()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

()http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

3.4.1.3. Multiplicación

Multiplicación de Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

Para operar se deben tener en cuenta las propiedades: distributiva del producto sobre la suma de números reales y del producto de potencias de la misma base.

()http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm

()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

Ejemplos:

Sean nuevamente los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 y Q(x) = 3 x2 – x + 2 ,
determinaremos ahora el polinomio producto P(x).Q(x) también de dos formas distintas.

Aplicando la regla

P(x).Q(x) = P(x) 3 x2 + P(x) (-x) + P(x) 2 =
= (-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1) 3 x2 + (-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1) (-x) + (-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1) 2 =
= - 6 x6 + 15 x5 - 9 x3 + 3 x2 + 2 x5 – 5 x4 + 3 x2 – x –4 x4 + 10 x3 – 6x + 2 =
= - 6 x6 + 17 x5 - 9 x4 + x3 + 6 x2 – 7 x + 2

Disposición práctica
-2 x4 +5 x3 – 3 x + 1
3 x2 – x + 2

_____________________________

- 4 x4 + 10 x3 + 0 x2 - 6 x + 2
2 x5 – 5 x4 + 0 x3 + 3 x2 – x
-6 x6 + 15 x5 + 0 x4 – 9 x3 + 3 x2

_____________________________
- 6 x6 + 17 x5 – 9 x4 + x3 + 6 x2 – 7x + 2

http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

3.4.1.4. Productos notables: casos, Identidades de Legendre

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Simbolisación:

(a+b)2 = (a+b)·(a+b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2

Ejemplo:

()http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

()http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm

()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf

()http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Simbolización:


(x – a )2 = (x – a) (x – a) = x2 – 2 a x + a2

Ejemplo:

()http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
()http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm
()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf
()http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda.

Simbolización:

(a+b)(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b = a2 - b2

Ejemplo:

()http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
()http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm
()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf
()http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

Cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

Simbolizació:

(x + a )3 = x3 + 3 a x2 + 3 a2 x + a3

Ejemplos:

()http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
()http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm
()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf
()http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

Cubo de la diferencia de un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

()http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
()http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm
()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf
()http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

Multiplicación de binomios con un término común

Es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.

()http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
()http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm
()http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/14_EA_Polinomios_b.pdf
()http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

3.5. Ejercicios y problemas aplicativos


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